洛必达法则在高中数学中的简单应用

0x0 洛必达是什么

对于洛必达法则，维基百科是这样介绍的:

洛必达法则（法语：Règle de L’Hôpital，英语：L’Hôpital’s rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。该法则以法国数学家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但实际上是由瑞士数学家约翰·伯努利所发现。

借助一个简单的例子，我们可以轻松了解什么是洛必达法则:

• 例 0-1

  对于函数 $f(x)=\frac{ln(x)}{x-1}$ ，求$\lim_{x \to 1}f(x)$的极限。

  通过简单的取特殊值描点连线，我们可以得到该函数的图像:

  
  当我们试图将$x=1$代入函数式时，我们会发现，分母$x-1$在此时等于$0$，明显地，这是有悖于我们的常识，分母是不能为$0$的

  那么我们该如何解决这个问题呢？

  现在我们将分子和分母拆分来看，分别得到函数式和图像:
  $$
  g(x)=ln(x)
  $$
  
  $$
  h(x)=x-1
  $$

  

  不难发现，函数$g(x)$和$h(x)$均过点$(1,0)$，故我们将其无限放大，由于两者均为可微函数，且可微函数局部是线性的，因此二者的无限放大图像均为直线。

  回想我们曾经学到的关于斜率的定义，可以意识到，在这种极限情况下，我们可以将极限处的斜率作为函数值使用，故可得:

  $$
  lim_{(x\to 1)}f(x)=lim_{(x\to 1)}\frac{g(x)}{h(x)}=lim_{(x\to 1)}\frac{g’(x)}{h’(x)}=lim_{(x\to 1)}\frac{\frac{1}{x}}{1}=1
  $$

0x1 洛必达法则的局限性

1. 分子分母同时趋向于$0$($\frac{0}{0}$)或同时趋向于$\infty$($\frac{\infty}{\infty}$)
2. 分子分母在限定的区域内是否分别可导。
3. 高考不可用(Doge)

0x2 洛必达法则在高中阶段的例题实战

• 例2-1

  当$x>0$时，不等式$e^x {\geq} ax+1$恒成立，求实数$a$的取值范围。

  解答：

  分离参数得$a{\leq}\frac{e^x-1}{x}$，其中$a>0$

  令$f(x)=\frac{e^x-1}{x}$，对其求导得

  $f’(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$，令$g(x)=(x-1)e^x+1=0$

  得$x=0$

  对$g(x)$求导，得$g’(x)=xe^x$，当$x>0$时，$g’(x)>0$

  因此$g(x)$在$x>0$时单调递增

  要求$a\le f(x)$恒成立，因此$a\le f(x)_{min}$，但当$x=0$时，$e^x-1=x=0$，此即为$\frac{0}{0}$型不定式。根据洛必达法则，有：

  $\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{e^x-1}{x}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{e^x}{1}}=1$，因此$a\le 1$，实数 a 的取值范围是$(-\infty ,1]$。

0x3 课后习题

若不等式$ax>sin(x)$对于$x\in (0,\frac{\pi}{2})$恒成立，求$a$的取值范围。

(答案将会于稍晚些时候发布在评论区)